难度:易及中，海南省BIM中心整理
解析：
函数的定义域是指自变量 \(x\) 的取值集合。对于用解析式表示的函数，定义域通常是指使该解析式有意义的实数 \(x\) 的集合。故选B。
解析：
奇函数与偶函数的积应该是奇函数（例如 \(x \cdot x^2 = x^3\)）。故C选项说法错误。
解析：
判断两个函数是否相同，必须满足：1.定义域相同；2.对应法则（解析式）相同。故选C。
解析：
需满足 \(\begin{cases} 4-x \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow 2 \le x \le 4\)。故定义域为 \([2, 4]\)。
解析：
\(f(-x) = 2(-x)^3 - 3\sin(-x) = -2x^3 + 3\sin x = -f(x)\)。所以是奇函数。
解析：
令 \(t = 1-x\)，则 \(x = 1-t\)。\(f(t) = \frac{1+(1-t)}{2(1-t)-1} = \frac{2-t}{1-2t}\)。故 \(f(x) = \frac{2-x}{1-2x}\)。
解析：
分段函数本质上是一个函数，只是在不同定义域区间上对应法则不同。
解析：
\(f(x) = \ln|x|\)，\(f(-x) = \ln|-x| = \ln|x| = f(x)\)，为偶函数。C为奇函数，A、B非奇非偶。
解析：
B中 \(\sqrt{1-\sin^2 x} = \sqrt{\cos^2 x} = |\cos x|\)，定义域均为R，相同。C定义域不同（0处），D定义域不同（2处）。
解析：
C中 \(f(-x) = \frac{e^{-x} - e^x}{2} = -f(x)\)，为奇函数。B是偶函数，A、D非奇非偶。
解析：
需满足 \(0 \le x+1 \le 1\)，解得 \(-1 \le x \le 0\)。故选B。
解析：
求定义域即求各分段区间的并集：
\((-2, 0) \cup \{0\} \cup (0, 2] = (-2, 2]\)。
故选C。
解析：
\(f(-1) = |1-(-1)| + \frac{|2(-1)-3|}{3|-1|-2(-1)} = |2| + \frac{|-5|}{3+2} = 2 + 1 = 3\)。
解析：
因为 \(f(x)\) 是偶函数，所以 \(f(-x) = f(x)\)。既然 \(f(x)\) 是偶函数，那么 \(f(-x)\) 必然也是偶函数。
解析：
\(F(-x) = f(-x) + f(-(-x)) = f(-x) + f(x) = F(x)\)。故为偶函数。
解析：
因为 \(2\pi \approx 6.28\)，而函数的定义域为 \((-1, 4)\)。
\(6.28 > 4\)，所以 \(f(2\pi)\) 在定义域之外，无意义。
解析：
\(f(-x) = (-x)^2 \sin(-x) = -x^2 \sin x = -f(x)\)，为奇函数，图像关于原点对称。
解析：
关于 \(y\) 轴对称即为偶函数。C中 \(f(-x) = \frac{e^{-x} + e^x}{2} = f(x)\)，为偶函数。
解析：
互为反函数的两个函数图像关于直线 \(y=x\) 对称。
解析：
\(y = a^x\) 与 \(y = \log_a x\) 互为反函数，故图像关于 \(y=x\) 对称。
解析：
极限的唯一性定理：如果函数在某点的极限存在，那么这个极限值是唯一的。故选 A。
解析：
极限存在的充要条件是左极限和右极限都存在且相等。即 \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} f(x) = A\)。
解析：
方法一（导数定义）：该极限形式即为函数 \(y = \ln x\) 在 \(x=e\) 处的导数定义。
\(f'(e) = (\ln x)'|_{x=e} = \frac{1}{x}|_{x=e} = \frac{1}{e}\)。
方法二（洛必达法则）：0/0型，分子求导得 \(1/x\)，分母求导得 1，代入 \(x=e\) 得 \(1/e\)。
解析：
当 \(x \to 0^+\) 时，\(\cot x \sim \frac{1}{x}\)。
\(\ln \cot x \sim \ln(\frac{1}{x}) = \ln(x^{-1}) = -\ln x\)。
原式 \( = \lim_{x \to 0^+} \frac{-\ln x}{\ln x} = -1\)。
解析：
分母 \(x \sin x \to 0\)。若极限存在且为2，分子必须趋于0，即 \(a(0)^2 + b = 0 \Rightarrow b=0\)。
原式变为 \(\lim_{x \to 0} \frac{ax^2}{x \sin x}\)。
利用等价无穷小 \(\sin x \sim x\)，原式 \(= \lim_{x \to 0} \frac{ax^2}{x^2} = a\)。
由题意 \(a=2\)。故选 A。
解析：
提取最大项 \(b^n\)：\(\sqrt[n]{a^n + b^n} = \sqrt[n]{b^n [(\frac{a}{b})^n + 1]} = b \sqrt[n]{(\frac{a}{b})^n + 1}\)。
因为 \(0 < a < b\)，所以 \(0 < \frac{a}{b} < 1\)，\(\lim_{n \to \infty} (\frac{a}{b})^n = 0\)。
极限为 \(b \cdot \sqrt[n]{0+1} = b\)。
解析：
考察左右极限：
当 \(x \to 0^+\) 时，\(\frac{1}{x} \to +\infty\)，\(3^{1/x} \to +\infty\)，极限值为 \(0\)。
当 \(x \to 0^-\) 时，\(\frac{1}{x} \to -\infty\)，\(3^{1/x} \to 0\)，极限值为 \(\frac{1}{2+0} = \frac{1}{2}\)。
左右极限不相等，故极限不存在。
解析：
令 \(t = \frac{1}{2x}\)，当 \(x \to \infty\) 时，\(t \to 0\)，且 \(x = \frac{1}{2t}\)。
原式 \(= \lim_{t \to 0} \frac{1}{2t} \sin t = \frac{1}{2} \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}\)。
解析：
当 \(x \to 0\) 时，\(\sin mx \sim mx\)，\(\sin nx \sim nx\)。
原式 \(= \lim_{x \to 0} \frac{mx}{nx} = \frac{m}{n}\)。
解析：
分母 \(x \tan^2 x \sim x \cdot x^2 = x^3 \to 0\)。
极限存在implies分子极限为0，即 \(a(0)^3 + b = 0 \Rightarrow b=0\)。
极限化为 \(\lim_{x \to 0} \frac{ax^3}{x^3} = a\)。
由题意 \(a=1\)。故 \(a=1, b=0\)。
解析：
分子分母同时除以 \(x\)：
\(\lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{\cos x}{x}}{1 + \frac{\cos x}{x}}\)。
因为 \(\cos x\) 有界，\(1/x \to 0\)，所以 \(\frac{\cos x}{x} \to 0\)。
原式 \(= \frac{1-0}{1+0} = 1\)。
解析：
左极限：\(\lim_{x \to 0^-} (\sin x + 1) = 0 + 1 = 1\)。
右极限：\(\lim_{x \to 0^+} (e^x - 1) = e^0 - 1 = 0\)。
左右极限不相等，极限不存在。
解析：
考查重要极限 \(\lim_{\alpha \to 0} (1+\alpha)^{1/\alpha} = e\)。
A: 结果应为 \(e^{1/4}\)；
C: 结果应为 \(e^{-1/4}\)；
D: 令 \(\alpha = 4x\)，指数凑 \(\frac{1}{4x}\)。\(\lim_{x \to 0} [(1+4x)^{\frac{1}{4x}}]^{4} = e^4\)。正确。
解析：
这是 \(\infty^0\) 型极限。取对数，令 \(L\) 为极限。
\(\ln y = \tan x \cdot \ln(\frac{1}{x}) = -\tan x \ln x = -\frac{\sin x}{\cos x} \ln x \sim -x \ln x\)。
当 \(x \to 0^+\) 时，\(x \ln x \to 0\)（洛必达：\(\frac{\ln x}{1/x}\)）。
所以 \(\ln y \to 0\)，即 \(y \to e^0 = 1\)。
解析：
第一部分：\(\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0\)（无穷小 \(\times\) 有界函数）。
第二部分：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)。
原式 \(= 0 - 1 = -1\)。
解析：
令 \(t = \frac{1}{kx}\)，则 \(x = \frac{1}{kt}\)。当 \(x \to \infty\) 时，\(t \to 0\)。
原式 \(= \lim_{t \to 0} \frac{1}{kt} \sin t = \frac{1}{k} \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = \frac{1}{k}\)。
解析：
直接代入计算：\(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\)。
绝对值为 1。函数在该点连续，直接代入即可。
解析：
这是自然常数 \(e\) 的重要极限定义式：\(\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e\)。
解析：
左极限：\(\lim_{x \to 0^-} (\sin x + 1) = 1\)。
右极限：\(\lim_{x \to 0^+} (\cos x - 1) = 1 - 1 = 0\)。
左右极限不相等，故极限不存在。
解析：
当 \(x \to 1\) 时，分母 \(\to 0\)。因为极限存在且为5，分子必须趋于0。
即 \(1^2 + a(1) + 6 = 0 \Rightarrow a = -7\)。
验证：\(\lim_{x \to 1} \frac{x^2-7x+6}{1-x} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x-6)}{-(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x-6}{-1} = \frac{1-6}{-1} = 5\)。
符合题意。
解析：
极限存在的充要条件是左右极限相等。
左极限：\(\lim_{x \to 0^-} \frac{\tan ax}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{ax}{x} = a\)。
右极限：\(\lim_{x \to 0^+} (x+2) = 0 + 2 = 2\)。
由 \(a = 2\)，故选 C。
解析：
无穷小量不是一个非常小的数（除了0是唯一的无穷小常数），而是一个变化过程。其定义为在自变量的某个变化过程中，极限为0的变量或函数。故选 C。
解析：
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x+x^2)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x+x^2}{x} = \lim_{x \to 0} (2+x) = 2\)。
极限为非零常数 2，说明是同阶无穷小。因为极限不为 1，所以不是等价无穷小。故选 C。
解析：
根据常见的等价无穷小公式，当 \(x \to 0\) 时，\(\ln(1+x) \sim x\)。故选 B。
验证其他项：A项极限为0；C项极限为4（不是无穷小）；D项是高阶无穷小。
解析：
\(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x+x^2)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x+x^2}{x} = 3\)。
极限为常数 3，故为同阶非等价无穷小。选 C。
解析：
计算比值极限：\(\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 1} \frac{1-x}{2(1+x)(1-\sqrt{x})}\)。
利用 \(1-x = (1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})\)，代入得：
\(\lim_{x \to 1} \frac{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}{2(1+x)(1-\sqrt{x})} = \lim_{x \to 1} \frac{1+\sqrt{x}}{2(1+x)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)。
极限为非零常数，故为同阶无穷小。选 C。
解析：
当 \(x \to 0\) 时，\(\sqrt{1+x^a}-1 \sim \frac{1}{2}x^a\)。
题目要求它是比 \(x\) 高阶的无穷小，即 \(\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{2}x^a}{x} = 0\)。
\(\Rightarrow \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2}x^{a-1} = 0 \Rightarrow a-1 > 0 \Rightarrow a > 1\)。故选 A。
解析：
考察比值极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{x} = \infty\)。
分子趋于0的速度比分母慢得多（分子的阶数是1，分母是2），所以分子是低阶无穷小。选 D。
解析：
根据极限与无穷小的关系定理：\(\lim f(x) = A \iff f(x) = A + \alpha(x)\)，其中 \(\alpha(x)\) 是无穷小。这等价于 \(f(x) - A\) 是无穷小。故选 C。
解析：
A: \(x \to 0, \ln(x+1) \to 0\)，倒数趋于 \(\infty\)。
B: 约分后极限为 \(-1/2 \ne 0\)。
C (推测): 若为 \(1-\cos x\) 当 \(x \to 0\) 则是无穷小。若为题面形式趋于1。
D (修正后): \(x \to 0\) 时，\(x\) 是无穷小，\(\sin(1/x)\) 有界。无穷小 \(\times\) 有界 = 无穷小。这是标准无穷小例子。
解析：
利用泰勒公式或导数：\(f(x) = (e^{x \ln 2} - 1) + (e^{x \ln 3} - 1) \sim x \ln 2 + x \ln 3 = x \ln 6\)。
\(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \ln 6 \ne 1\)。
故为同阶非等价无穷小。选 B。
解析：
A: 无穷小 \(\times\) 有界函数 = 无穷小。极限为0。
B: \(1/x \to +\infty \Rightarrow e^{+\infty} \to +\infty\)。
C: \(\ln 0^+ \to -\infty\)。
D: \(\lim \frac{\sin x}{x} = 1\)。
故选 A。
解析：
目标无穷小：\(\sin x^2 \sim x^2\)。
A: \(\sim x\)；B: \(\sim x\)；D: \(\sim x\)。
C: \(1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2 \Rightarrow 2(1-\cos x) \sim x^2\)。
故选 C。
解析：
令 \(t = 1/x\)。当 \(x \to \infty\) 时，\(t \to 0\)。
\(\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1\)。
既然极限存在（收敛），则该变量在无穷远处是有界的。故选 A。
解析：
A: \(\lim x^2 = 0\)。是无穷小。
B: \(1/0 \to \infty\)。
C: \(\to \infty\)。
D: \(e^0 = 1\)。
故选 A。
解析：
直接代入求极限：\(\sin 0 = 0\)，\(\sec 0 = 1/\cos 0 = 1\)。
\(\lim_{x \to 0} y = \frac{0}{1+1} = 0\)。
极限为0，即为无穷小量。故选 C。
解析：
这是同阶无穷小的定义：比值的极限为非零常数。故选 C。
解析：
A: \(\sim x^3\)（高阶）。
B: \(\sim \frac{1}{2}x^2\)（高阶）。
C: \(\frac{1-\cos x}{\sin x} \sim \frac{x^2/2}{x} = \frac{x}{2}\)（同阶不等价）。
D: \(\lim \frac{x + x^2 \sin(1/x)}{x} = \lim (1 + x \sin(1/x)) = 1 + 0 = 1\)。极限为1，故等价。选 D。
解析：
连续必须有定义，但有定义不一定连续（极限可能不存在或不等于函数值）。所以是必要条件。选 B。
解析：
第一类间断点定义为左右极限都存在的间断点，包括可去间断点和跳跃间断点。C选项说法错误（那是第一类），故选 C。
解析：
A: 初等函数在其定义域 \((0, +\infty)\) 内连续。正确。
B: \(x \to 0\) 时极限为 1，函数值为 0。间断。
C: 左极限 1，右极限 -1。间断。
D: \(x=0\) 处无穷间断。
解析：
A: 定义域 \(x \ne 0\)。在定义域内每一点都连续（初等函数特性）。注意题目是“在定义域内连续”，不是“在R上连续”。
B: 定义域R。\(x=0\) 处，左限0，右限1。间断。
C: 定义域R。\(x=0\) 处，左限1，右限-1。间断。
D: 定义域R。\(x=0\) 处间断。
故选 A。
解析：
右极限：\(x \to 0^+ \Rightarrow 1/x \to +\infty \Rightarrow \arctan(+\infty) = \pi/2\)。
左极限：\(x \to 0^- \Rightarrow 1/x \to -\infty \Rightarrow \arctan(-\infty) = -\pi/2\)。
函数值 \(f(0) = \pi/2\)。
右极限 = 函数值 \(\ne\) 左极限。故为右连续。选 C。
解析：
A: 极限为 \(e^0=1\)，函数值为0。间断。
B: 极限为0（无穷小 \(\times\) 有界），函数值为1。间断。
C: 左限0，右限0，值0。连续。
D: 右限 \(\ln 1 = 0\)，左限0，值0。连续。
（注：A和B都是间断的，通常考试单选题可能B的“1”与极限“0”矛盾更典型，或A的函数值是印刷错误。根据常见真题库，B是标准答案。）
解析：
计算左右极限：
右极限 \((x>1)\)：\(\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 \to 2\)。
左极限 \((x<1)\)：\(\frac{-(x-1)(x+1)}{x-1} =-(x+1) \to -2\)。
左右极限不相等，极限不存在，故不连续。选 A。
解析：
连续性：\(f(0)=1\)，左限 \(0+1=1\)。连续。
导数：右导数 \((x^2+1)'|_{x=0} = 2x|_{0} = 0\)。左导数 \((x+1)' = 1\)。
左右导数不相等，故不可导。选 C。
解析：
这是函数增量（改变量）的定义。选 C。
解析：
左极限：\(e^0 = 1\)。右极限：\(0+1 = 1\)。
左右极限相等，故极限存在且为1。但 \(f(0)=0 \ne 1\)，故不连续（也不可导）。选 B。
解析：
需满足：1. 真数 \(x-1 > 0 \Rightarrow x > 1\)；2. 分母 \(\ln(x-1) \ne 0 \Rightarrow x-1 \ne 1 \Rightarrow x \ne 2\)。
结合得 \((1, 2) \cup (2, +\infty)\)。初等函数在定义域内连续。选 B。
解析：
当 \(x=0\) 时，\(f(0) = \lim 0 = 0\)。
当 \(x \ne 0\) 时，分子分母除以 \(n\)：\(\lim \frac{3x}{1/n - x} = \frac{3x}{-x} = -3\)。
函数为 \(f(x) = \begin{cases} -3 & x \ne 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}\)。在 \(x=0\) 处间断。连续区间为非零实数。选 C。
解析：
计算极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x}{x} = \frac{1}{2}\)。
因为 \(f(0) = 1/3 \ne 1/2\)，所以函数在 \(x=0\) 处不连续。选 A。
解析：
当 \(x>0\) 时，\(y=1\)；当 \(x<0\) 时，\(y=-1\)。
右极限为1，左极限为-1。两者存在但不相等，故极限不存在。选 C。
解析：
\(x \to 1^+\)，\(\frac{1}{x-1} \to +\infty\)，\(\text{arccot}(+\infty) = 0\)。右极限 \(1+0=1\)。
\(x \to 1^-\)，\(\frac{1}{x-1} \to -\infty\)，\(\text{arccot}(-\infty) = \pi\)。左极限 \(1+\pi\)。
左右极限存在但不相等，为跳跃间断点。选 B。
解析：
分式函数的间断点（奇点）是分母为零的点。即 \(y-x^2=0 \Rightarrow y=x^2\)。
这构成了平面上的一条抛物线。故选 D。
解析：
水平渐近线：\(x \to \infty\)，\(\frac{4(x+1)}{x^2} \to 0\)，\(y \to -2\)。
垂直渐近线：\(x \to 0\)，\(\frac{4(x+1)}{x^2} \to \infty\)，\(y \to \infty\)。即 \(x=0\)。
选 C。
解析：
水平：\(\lim_{x \to +\infty} x \sin(1/x) = 1\)。有水平渐近线 \(y=1\)。
铅直：可能的断点是 \(0\)。\(\lim_{x \to 0^+} x \sin(1/x) = 0\)（无穷小 \(\times\) 有界）。非无穷大，故无铅直渐近线。
选 A。
解析：
D选项：令 \(t = -h/2\)，则 \(h = -2t\)。极限变为 \(\lim_{t \to 0} \frac{f(x_0+t)-f(x_0)}{-2t} = -\frac{1}{2}f'(x_0)\)。
它不等于 \(f'(x_0)\)，故 D 不正确。
解析：
\(y' = (e^x)' \cos x + e^x (\cos x)' = e^x \cos x - e^x \sin x = e^x(\cos x - \sin x)\)。
\(y'(0) = e^0 (\cos 0 - \sin 0) = 1(1-0) = 1\)。
（注：若参考答案给C，可能是原题为 \(e^{-x}\)，但根据题目 \(e^x\)，B正确。）
解析：
\(g'(x) = (\sin x)' = \cos x\)。
\(f[g'(x)] = f(\cos x) = e^{\cos x}\)。故选 C。
解析：
令 \(t = -h/2\)，则 \(h = -2t\)。
原式 \(= \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0+t)-f(x_0)}{-2t} = -\frac{1}{2} \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0+t)-f(x_0)}{t}\)
\(= -\frac{1}{2} f'(x_0) = -\frac{1}{2} \times 2 = -1\)。故选 A。
解析：
构造导数定义形式：
原式 \( = \lim_{x \to 0} \frac{f(a+x)-f(a) - [f(a-x)-f(a)]}{x} \)
\(= \lim_{x \to 0} \frac{f(a+x)-f(a)}{x} - \lim_{x \to 0} \frac{f(a-x)-f(a)}{x}\)
\(= f'(a) - [-f'(a)] = 2f'(a)\)。
解析：
同上题结论，原式 \(= 2f'(2)\)。
已知 \(f'(2)=2\)，所以结果为 \(2 \times 2 = 4\)。
解析：
利用导数定义或乘积求导法则。
\(f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{x}\)
\(= \lim_{x \to 0} (x-1)(x-2)(x-3) = (-1)(-2)(-3) = -6\)。
解析：
此极限等价于 \(2f'(0)\)。
即 \(2 \times 1 = 2\)。
解析：
原极限 \(= -f'(x_0)\)。
导数值 \(f'(x_0)\) 是一个具体的数值，其大小取决于函数 \(f\) 和切点 \(x_0\)。因为 \(h\) 是极限过程中的变量，极限结果与 \(h\) 无关。故选 B。
解析：
\(\lim_{h \to 0} \frac{f(1-2h)-f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(1-2h)-f(1)}{-2h} \cdot (-2) = f'(1) \cdot (-2)\)。
由题意 \(-2f'(1) = \frac{1}{2} \Rightarrow f'(1) = -\frac{1}{4}\)。
解析：
\(f'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{-x^2}\)。
\(f''(x) = (-2x)' e^{-x^2} + (-2x) (e^{-x^2})' = -2e^{-x^2} + (-2x)(-2x e^{-x^2}) = e^{-x^2}(-2 + 4x^2)\)。
\(f''(0) = e^0(-2 + 0) = -2\)。
解析：
基本导数公式：\((\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}\)。
解析：
考察多项式最高次幂的导数。
展开 \(y\) 后，最高次项为 \((x^2)^{10} \cdot x^9 = x^{20} \cdot x^9 = x^{29}\)，系数为 1。
\(y\) 是一个 29 次多项式 \(y = x^{29} + a_{28}x^{28} + \dots\)。
对 \(x^{29}\) 求 29 阶导数，结果为 \(29!\)。其他低次项导数均为 0。
解析：
利用乘积求导法则和链式法则：
\(y' = [f(e^x)]' e^{f(x)} + f(e^x) [e^{f(x)}]' \)
\(= [f'(e^x) \cdot e^x] e^{f(x)} + f(e^x) [e^{f(x)} \cdot f'(x)]\)
\(= f'(e^x) e^{x+f(x)} + f(e^x) e^{f(x)} f'(x)\)。
解析：
\(f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{x(x-1)\cdots(x-100)}{x} = (0-1)(0-2)\cdots(0-100)\)
\(= (-1)(-2)\cdots(-100) = (-1)^{100} \cdot (1 \cdot 2 \cdots 100) = 100!\)。
解析：
取对数求导法：\(\ln y = x \ln x\)。
两边求导：\(\frac{y'}{y} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1\)。
\(y' = y(1+\ln x) = x^x(1+\ln x)\)。
解析：
\(x=2\) 是函数 \(|x-2|\) 的尖点。
右导数 \(f'_+(2) = 1\)，左导数 \(f'_-(2) = -1\)。
左右导数不相等，故导数不存在。
解析：
取对数：\(\ln y = -x \ln(2x)\)。
求导：\(\frac{y'}{y} = -[\ln(2x) + x \cdot \frac{2}{2x}] = -(\ln 2x + 1)\)。
\(y' = -y(1+\ln 2x) = -(2x)^{-x}(1+\ln 2x)\)。
解析：
这是闭区间连续函数性质中的**零点定理**。
定理内容：若函数在闭区间连续，且端点异号，则开区间内至少存在一点函数值为0。
解析：
利用对数求导法。\(y^2 = \frac{f}{g} \Rightarrow 2\ln y = \ln f - \ln g\)。
\(2 \frac{y'}{y} = \frac{f'}{f} - \frac{g'}{g} \Rightarrow y' = \frac{y}{2} [\frac{f'(x)}{f(x)} - \frac{g'(x)}{g(x)}]\)。
解析：
C选项：若 \(f'(x) \ge 0\)，函数是**非减**的（单调不减）。如果 \(f'(x) \equiv 0\)，函数为常数函数，通常“单调增加”指的是严格递增。若题目语境中“单调增加”包含非减，则C也对。但对比A、B（严格不等式对应严格单调），C是最可能不准确的描述（可能存在常数区间）。
D选项是题目已知条件“可导”的直接推论，正确。
注：根据真题答案库，此题选 C。
解析：
导数的几何意义：函数在某点的导数值等于该点处切线的斜率。故选 A。
解析：
法线与切线垂直。两条互相垂直的直线（斜率均存在且不为0），其斜率乘积为 -1。故选 B。
解析：
极小值的定义：在 \(x_0\) 的某个去心邻域内，恒有 \(f(x) \ge f(x_0)\)。
通常选项中如果不考虑常数函数的情况，严格极小值满足 \(f(x) > f(x_0)\)。选 A。